aire y=x+4,y=x^2+x-12 — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

y = x + 4

y = x^{2} + x - 12

Aux intersections,

x + 4

x^{2} + x - 12

. Soustrayons la seconde expression à la première :

(x + 4) - (x^{2} + x - 12)

= 0, soit

16 - x^{2} = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

16 - x^{2} = 0

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

16

sont

-4

4

⇥Solutions trouvées :

x = {-4; 4}

L'aire entre

x + 4

x^{2} + x - 12

sur

[-4; 4]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[-4; 4]

x + 4

est au-dessus de

x^{2} + x - 12

: intégrons

16 - x^{2}

⇥1.2) Calculons l'intégrale :

\int_{-4}^{4} (16 - x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (16 - x^{2}) d x

\int 16 d x - \int x^{2} d x

⇥

\int 16 d x - \int x^{2} d x

⇥ⓘ La dérivée de

16 x

est

16

, donc

16 x

est une primitive de

16

\int 16 d x

16 x

■Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

▷

16 x - \frac{x^{3}}{3}

⇥1.3) Évaluons pour l'intervalle

[-4; 4]

(16 \cdot 4 - \frac{4^{3}}{3}) - (16 \cdot (-4) - \frac{{(-4)}^{3}}{3})

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

16 \cdot 4

(10 + 6) \cdot 4

10 \cdot 4 + 6 \cdot 4

40 + 24

64

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (16 \cdot (-4) - \frac{{(-4)}^{3}}{3})

- 16 \cdot (-4) + \frac{{(-4)}^{3}}{3}

⇥

64

- \frac{64}{3}

- 16 \cdot (-4)

+ \frac{{(-4)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

64 - \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 64 - 64}{3}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-16 \cdot (-4)

16 \cdot 4

(10 + 6) \cdot 4

10 \cdot 4 + 6 \cdot 4

40 + 24

64

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-4)}^{3}

(-4) \cdot (-4) \cdot (-4)

-64

⇥

\frac{3 \cdot 64 - 64}{3} + 64 - \frac{64}{3}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 64

3 \cdot (60 + 4)

3 \cdot 60 + 3 \cdot 4

180 + 12

192

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

64 - \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 64 - 64}{3}

⇥

\frac{192 - 64}{3} + \frac{3 \cdot 64 - 64}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

192 - 64

128

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 64

3 \cdot (60 + 4)

3 \cdot 60 + 3 \cdot 4

180 + 12

192

⇥

\frac{128}{3} + \frac{192 - 64}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

192 - 64

128

⇥

\frac{128}{3} + \frac{128}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{128}{3} + \frac{128}{3}

\frac{128 + 128}{3}

⇥

\frac{128 + 128}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

128 + 128

256

⇥

\frac{256}{3}

L'aire sur

[-4; 4]

vaut

\frac{256}{3}

▶Aire :

\frac{256}{3}

2) La valeur numérique de :

\frac{256}{3}

est :

▷

\approx 85,3333