aire y=x^2-1,y=-x^2+1 — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

y = x^{2} - 1

y = 1 - x^{2}

Aux intersections,

x^{2} - 1

1 - x^{2}

. Soustrayons la seconde expression à la première :

(x^{2} - 1) - (1 - x^{2})

= 0, soit

2 x^{2} - 2 = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} - 2 = 0

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥

x^{2} = 1

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

1

sont

-1

1

⇥Solutions obtenues :

x = {-1; 1}

L'aire entre

x^{2} - 1

1 - x^{2}

sur

[-1; 1]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[-1; 1]

1 - x^{2}

est au-dessus de

x^{2} - 1

: intégrons

- 2 x^{2} + 2

⇥1.2) Calculons l'intégrale :

\int_{-1}^{1} (- 2 x^{2} + 2) d x

⇥ⅰ

\int (- 2 x^{2} + 2) d x

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 d x

⇥

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 d x

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int 2 x^{2} d x

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

2 x

est

2

, donc

2 x

est une primitive de

2

\int 2 d x

2 x

⇥

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 2 x

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{2 x^{3}}{3}

▷

- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x

⇥1.3) Évaluons pour l'intervalle

[-1; 1]

(2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^{3}}{3}) - (2 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

- 2 \cdot (-1) + \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

⇥

2

- \frac{2}{3}

- 2 \cdot (-1)

+ \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

2 - \frac{2}{3}

\frac{3 \cdot 2 - 2}{3}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-2 \cdot (-1)

2

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

\frac{3 \cdot 2 - 2}{3} + 2 - \frac{2}{3}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 2

6

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

2 - \frac{2}{3}

\frac{3 \cdot 2 - 2}{3}

⇥

\frac{6 - 2}{3} + \frac{3 \cdot 2 - 2}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

6 - 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{4}{3} + \frac{6 - 2}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

6 - 2

4

⇥

\frac{4}{3} + \frac{4}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{4}{3} + \frac{4}{3}

\frac{4 + 4}{3}

⇥

\frac{4 + 4}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 + 4

8

⇥

\frac{8}{3}

L'aire sur

[-1; 1]

vaut

\frac{8}{3}

▶Aire :

\frac{8}{3}

2) La valeur numérique de :

\frac{8}{3}

est :

▷

\approx 2,6667