aire y=x^2,x=y/2 — solution étape par étape

1) Isolons y dans

y = x^{2}

y = x^{2}

Isolons y dans

x = \frac{y}{2}

y = 2 x

Cherchons les intersections :

x^{2} - 2 x = 0

⇥On peut factoriser l'expression :

x^{2} - 2 x

en :

x \cdot (x - 2)

⇥Solution trouvée :

x = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x - 2 = 0

⇥Solution trouvée :

x = 2

L'aire entre

x^{2}

2 x

sur

[0, 2]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[0, 2]

2 x

est au-dessus de

x^{2}

: intégrons

- x^{2} + 2 x

⇥1.2) Calculons l'intégrale :

\int(- x^{2} + 2 x)dx

⇥

- \int(x^{2})dx + \int(2 x)dx

⇥ℹ

- \int(x^{2})dx

- \frac{x^{3}}{3}

‖

\int(2 x)dx

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥

- \frac{x^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ℹ

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{2 x^{2}}{2}

‖

\frac{2 x^{2}}{2}

x^{2}

⇥

- \frac{x^{3}}{3} + x^{2}

⇥1.3) Evaluons pour l'intervalle

[0, 2]

(- \frac{2^{3}}{3} + 2^{2}) - (- \frac{0^{3}}{3} + 0^{2})

⇥ℹ

2^{3}

8

‖

2^{2}

4

‖

- (- \frac{0^{3}}{3} + 0^{2})

\frac{0^{3}}{3} - 0^{2}

⇥

- \frac{8}{3}

+ 4

+ \frac{0^{3}}{3}

- 0^{2}

⇥

\frac{- 8 + 4 \cdot 3}{3} + 0

⇥

\frac{- 8 + 12}{3}

⇥

\frac{4}{3}

L'aire sur

[0, 2]

vaut

\frac{4}{3}

▶Aire :

\frac{4}{3}