aire y=x^2,y=2 — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

y = x^{2}

y = 2

Aux intersections,

x^{2}

2

. Soustrayons la seconde expression à la première :

x^{2} - 2 = 0

Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 2 = 0

Les deux nombres dont le carré vaut

2

sont

- \sqrt{2}

\sqrt{2}

Solutions trouvées :

x = {- \sqrt{2}; \sqrt{2}}

L'aire entre

x^{2}

2

sur

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

2

est au-dessus de

x^{2}

: intégrons

- x^{2} + 2

Entre ses racines

x_{1} = - \sqrt{2}

x_{2} = \sqrt{2}

- x^{2} + 2

-1 \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

Avec

u = x - x_{1}

d = x_{2} - x_{1}

, l'intégrale de

(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

x_{1}

x_{2}

est celle de

u \cdot (u - d)

de 0 à

d

\frac{d^{3}}{3} - \frac{d^{3}}{2} = - \frac{d^{3}}{6}

, donc l'aire vaut

\frac{d^{3}}{6}

Calculons

d = x_{2} - x_{1}

⇥

\sqrt{2} + \sqrt{2}

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

\sqrt{2} + \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

2 \cdot \sqrt{2}

Donc l'aire vaut

\frac{d^{3}}{6}

⇥

\frac{{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{6}

⇥ⓘ La puissance d'un produit est le produit des puissances :

{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}

2^{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{3}

⇥

\frac{2^{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{3}}{6}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{8 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{6}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{8 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{6}

\frac{4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥

\frac{4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions :

2^{\frac{3}{2}}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

\frac{4 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥ⅰ

4 \cdot 2

8

⇥

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

L'aire sur

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

vaut

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

▶Aire :

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

2) La valeur numérique de :

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

est :

\frac{8 \cdot \approx 1,4142}{3}

\frac{\approx 11,3137}{3}

▷

\approx 3,7712