aire y=x^2,y=x+2 — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

y = x^{2}

y = x + 2

Aux intersections,

x^{2}

x + 2

. Soustrayons la seconde expression à la première :

x^{2} - (x + 2)

= 0, soit

x^{2} - x - 2 = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - x - 2 = 0

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 3

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

⇥Solutions trouvées :

x = {-1; 2}

L'aire entre

x^{2}

x + 2

sur

[-1; 2]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[-1; 2]

x + 2

est au-dessus de

x^{2}

: intégrons

- x^{2} + x + 2

⇥1.2) Calculons l'intégrale :

\int_{-1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + x + 2) d x

- \int x^{2} d x + \int x d x + \int 2 d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int x d x + \int 2 d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

■La dérivée de

2 x

est

2

, donc

2 x

est une primitive de

2

\int 2 d x

2 x

▷

- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x

⇥1.3) Évaluons sur l'intervalle

[-1; 2]

(- \frac{2^{3}}{3} + \frac{2^{2}}{2} + 2 \cdot 2) - (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{{(-1)}^{2}}{2} + 2 \cdot (-1))

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{{(-1)}^{2}}{2} + 2 \cdot (-1))

\frac{{(-1)}^{3}}{3} - \frac{{(-1)}^{2}}{2} - 2 \cdot (-1)

⇥

- \frac{8}{3}

+ \frac{4}{2}

+ 4

+ \frac{{(-1)}^{3}}{3}

- \frac{{(-1)}^{2}}{2}

- 2 \cdot (-1)

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

6

, le plus petit commun multiple de

3

2

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

- \frac{8}{3} + \frac{4}{2}

\frac{-8 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{- 8 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 2}

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-2 \cdot (-1)

2

⇥

\frac{- 8 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 2}

+ 4

- \frac{1}{3}

- \frac{1}{2}

+ 2

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 2

16

4 \cdot 3

12

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

4 - \frac{1}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 1}{3}

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{- 16 + 12}{6}

+ \frac{3 \cdot 4 - 1}{3}

- \frac{1}{2}

+ 2

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 16 + 12

-4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{1}{2} + 2

\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

⇥

- \frac{4}{6} + \frac{12 - 1}{3} + \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{6}

- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}

- \frac{2}{3}

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 - 1

11

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

⇥

- \frac{2}{3} + \frac{11}{3} + \frac{- 1 + 4}{2}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{2}{3} + \frac{11}{3}

\frac{- 2 + 11}{3}

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 4

3

⇥

\frac{- 2 + 11}{3} + \frac{3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 + 11

9

⇥

\frac{9}{3} + \frac{3}{2}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

6

, le plus petit commun multiple de

3

2

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

\frac{9}{3} + \frac{3}{2}

\frac{9 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{9 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥

\frac{9 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

9 \cdot 2

18

3 \cdot 3

9

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{18 + 9}{6}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

18 + 9

27

⇥

\frac{27}{6}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{27}{6}

\frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{9}{2}

⇥

\frac{9}{2}

L'aire sur

[-1; 2]

vaut

\frac{9}{2}

▶Aire :

\frac{9}{2}

2) La valeur numérique de :

\frac{9}{2}

est :

▷

4,5