arccos(2x)=pi/3 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\arccos (2 x) = \frac{π}{3}

\arccos

prend ses valeurs dans

[0; π]

, qui contient

\frac{π}{3}

\arccos (2 x) = \frac{π}{3}

équivaut à

2 x = \cos (\frac{π}{3})

ⓘ Le cosinus correspond à l'abscisse (axe horizontal) du point atteint sur le cercle trigonométrique après une rotation de

\frac{π}{3}

radians depuis l'axe horizontal dirigé vers la droite, c'est une valeur remarquable :

\cos (\frac{π}{3})

\frac{1}{2}

2 x = \frac{1}{2}

ⓘ On divise les deux membres par

2

x = \frac{\frac{1}{2}}{2}

ⓘ Diviser une fraction par

2

revient à multiplier son dénominateur par

2

\frac{\frac{1}{2}}{2}

\frac{1}{2 \cdot 2}

x = \frac{1}{2 \cdot 2}

ⅰ

2 \cdot 2

4

Candidats, sous réserve du domaine :

x = \frac{1}{4}

2) Cherchons le domaine de

\arccos (2 x) = \frac{π}{3}

Pour que l'expression

\arccos (2 x)

soit définie, on doit avoir :

| 2 x | \leq 1

| A | \leq B

équivaut à

- B \leq A \leq B

-1 \leq 2 x \leq 1

On divise les trois membres par

2

, positif

- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}

Contraintes liées au domaine :

x \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]

▶Solution :

x = \frac{1}{4}

3) La valeur numérique de :

x = \frac{1}{4}

vaut :

▷

x = 0,25