asymptotes de f(x)=1/(-2x^2+2x+12)

Cherchons les asymptotes de

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

Résolvons dans

ℝ

- 2 x^{2} + 2 x + 12 = 0

Comme

-2 \neq 0

, on divise les deux membres par

-2

x^{2} - x - 6 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -6

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-6)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-6)

24

Δ = 1 + 24

ⓘ On part de

1

et on avance de

24

sur la droite des nombres :

1 + 24

25

Δ = 25

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

x_{1} = \frac{1 - 5}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 5

-4

x_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{2}

-2

x_{1} = -2

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

x_{2} = \frac{1 + 5}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 5

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Solutions trouvées :

x = {-2; 3}

Quand

x

s'approche de

-2

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -2

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

3

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 3

est donc une asymptote verticale

À l'infini, le degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur : la droite à tester est

y = 0

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

tend vers

0

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

tend vers

0

L'asymptote horizontale est

y = 0

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = -2; x = 3; y = 0}

🖼/draw?f1=1%2F%28-2*x%5E2+%2B+2*x+%2B+12%29&v=x&x2=-2&x3=3&f4=0&b=-9.5&e=10.5&min=-0.10119047619047619&max=0.11309523809523808&dash=2,3,4