asymptotes de f(x)= x/(x(x+7))
1) Cherchons les asymptotes de xx·(x + 7), pour x réel
Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs
Résolvons dans ℝ : x·(x + 7) = 0
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0
⇥1.1) Résolvons dans ℝ : x = 0
⇥Solution obtenue : x = 0
⇥1.2) Résolvons dans ℝ : x + 7 = 0
⇥Solution obtenue : x = -7
Quand x s'approche de -7 par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers -∞ ; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers +∞
La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite x = -7 est donc une asymptote verticale
Quand x s'approche de 0 par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers 17 ; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers 17
Les limites sont finies en 0 : il s'agit d'un trou, pas d'une asymptote verticale
À l'infini, le degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur : la droite à tester est y = 0
Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de xx·(x + 7) aux deux infinis
Quand x tend vers +∞, xx·(x + 7) tend vers 0 ; quand x tend vers -∞, xx·(x + 7) tend vers 0
L'asymptote horizontale est y = 0 ; il n'y a pas d'asymptote oblique
▶Asymptotes :   { x = -7 ; y = 0 }
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