asymptotes de f(x)=(2x^2-5x+7)/(x-2)

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x - 2}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x - 2 = 0

⇥ⓘ On ajoute

2

aux deux membres

⇥Solution obtenue :

x = 2

Quand

x

s'approche de

2

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 2

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(2 x^{2} - 5 x + 7)

(x - 2)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$2 x^{2} - 5 x + 7$	$\frac{2 x^{2}}{x}$	$2 x$	$2 x \cdot (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x$	$(2 x^{2} - 5 x + 7) - (2 x^{2} - 4 x) = - x + 7$
$- x + 7$	$- \frac{x}{x}$	$-1$	$-1 \cdot (x - 2) = - x + 2$	$(- x + 7) - (- x + 2) = 5$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

(2 x - 1)

La division permet d'écrire

\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x - 2} = (2 x - 1) + \frac{5}{x - 2}

: la droite à tester est

y = 2 x - 1

Pour une asymptote oblique, l'écart entre la fonction et la droite doit tendre vers 0 : vérifions la limite de

\frac{5}{x - 2}

aux deux infinis

L'écart tend vers

0

en +∞ et vers

0

en -∞ : la courbe se rapproche donc de la droite aux deux infinis

L'asymptote oblique est

y = 2 x - 1

; il n'y a pas d'asymptote horizontale

▶Asymptotes :

{x = 2; y = 2 x - 1}

🖼/draw?f1=%282*x%5E2+-+5*x+%2B+7%29%2F%28x+-+2%29&v=x&x2=2&f3=2*x+-+1&b=-8.0&e=12.0&min=-21.0&max=27.0&dash=2,3