asymptotes de f(x)=(4x)/(x^2+3x-10)

Cherchons les asymptotes de

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 3 x - 10 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 3

c = -10

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

Δ = 9 - 4 \cdot (-10)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-10)

40

Δ = 9 + 40

ⓘ On part de

9

et on avance de

40

sur la droite des nombres :

9 + 40

49

Δ = 49

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{1} = \frac{- 3 - 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 - 7

-10

x_{1} = - \frac{10}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{10}{2}

-5

x_{1} = -5

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{2} = \frac{- 3 + 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 + 7

4

x_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

x_{2} = 2

Solutions trouvées :

x = {-5; 2}

Quand

x

s'approche de

-5

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -5

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

2

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 2

est donc une asymptote verticale

À l'infini, le degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur : la droite à tester est

y = 0

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

tend vers

0

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

tend vers

0

L'asymptote horizontale est

y = 0

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = -5; x = 2; y = 0}

🖼/draw?f1=%284*x%29%2F%28x%5E2+%2B+3*x+-+10%29&v=x&x2=-5&x3=2&f4=0&b=-12.0&e=9.0&min=-2.123265306122449&max=2.1967346938775503&dash=2,3,4