asymptotes de f(x)=(4x+1)/(x-2) — solution étape par étape

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{4 x + 1}{x - 2}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x - 2 = 0

⇥ⓘ On ajoute

2

aux deux membres

⇥Solution trouvée :

x = 2

Quand

x

s'approche de

2

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 2

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(4 x + 1)

(x - 2)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$4 x + 1$	$\frac{4 x}{x}$	$4$	$4 \cdot (x - 2) = 4 x - 8$	$(4 x + 1) - (4 x - 8) = 9$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

4

Le quotient de la division est la constante

4

: la droite à tester est

y = 4

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{4 x + 1}{x - 2}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{4 x + 1}{x - 2}

tend vers

4

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{4 x + 1}{x - 2}

tend vers

4

L'asymptote horizontale est

y = 4

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = 2; y = 4}

🖼/draw?f1=%284*x+%2B+1%29%2F%28x+-+2%29&v=x&x2=2&f3=4&b=-8.0&e=12.0&min=-1.31&max=8.41&dash=2,3