asymptotes de f(x)=(5x)/(2x+3) — solution étape par étape

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{5 x}{2 x + 3}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

2 x + 3 = 0

⇥ⓘ On soustrait

3

aux deux membres

⇥

2 x = -3

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥Solution trouvée :

x = - \frac{3}{2}

Quand

x

s'approche de

- \frac{3}{2}

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = - \frac{3}{2}

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(5 x)

(2 x + 3)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$5 x$	$\frac{5 x}{2 x}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{5}{2} \cdot (2 x + 3) = 5 x + \frac{15}{2}$	$5 x - (5 x + \frac{15}{2}) = - \frac{15}{2}$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

\frac{5}{2}

Le quotient de la division est la constante

\frac{5}{2}

: la droite à tester est

y = \frac{5}{2}

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{5 x}{2 x + 3}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{5 x}{2 x + 3}

tend vers

\frac{5}{2}

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{5 x}{2 x + 3}

tend vers

\frac{5}{2}

L'asymptote horizontale est

y = \frac{5}{2}

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = - \frac{3}{2}; y = \frac{5}{2}}

🖼/draw?f1=%285*x%29%2F%282*x+%2B+3%29&v=x&x2=-3%2F2&f3=5%2F2&b=-11.5&e=8.5&min=0.2875&max=4.3375&dash=2,3