asymptotes de f(x)=(-x^3-5)/(x^2-4)

Cherchons les asymptotes de

\frac{- x^{3} - 5}{x^{2} - 4}

, pour

x

réel

Les zéros du dénominateur sont des candidats : une limite infinie confirme une asymptote verticale

Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 4 = 0

Solutions trouvées:

x = {-2, 2}

-2

, la limite à gauche vaut

+∞

et la limite à droite vaut

-∞

La limite est infinie :

x = -2

est une asymptote verticale

2

, la limite à gauche vaut

+∞

et la limite à droite vaut

-∞

La limite est infinie :

x = 2

est une asymptote verticale

Calculons le quotient et le reste de

- x^{3} - 5

par

x^{2} - 4

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$- x^{3} - 5$	$- \frac{x^{3}}{x^{2}}$	$- x$	$- x \cdot (x^{2} - 4) = - x^{3} + 4 x$	$(- x^{3} - 5) - (- x^{3} + 4 x) = - 4 x - 5$

Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

- x

La différence avec

- x

est

- \frac{4 x + 5}{x^{2} - 4}

On vérifie que la différence avec

- x

tend vers 0 aux deux infinis

La différence tend vers

0

en +∞ et vers

0

en -∞

L'asymptote oblique est

y = - x

; il n'y a pas d'asymptote horizontale

▶Asymptotes :

{x = -2, x = 2, y = - x}