asymptotes de f(x)=((x^2+1))/(2x^2+7)

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} + 7}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} + 7 = 0

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥

x^{2} = - \frac{7}{2}

⇥Dans ℝ, un carré n'est jamais négatif : aucun nombre réel n'a pour carré

- \frac{7}{2}

⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(x^{2} + 1)

par

(2 x^{2} + 7)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{2} + 1$	$\frac{x^{2}}{2 x^{2}}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} + 7) = x^{2} + \frac{7}{2}$	$(x^{2} + 1) - (x^{2} + \frac{7}{2}) = - \frac{5}{2}$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

\frac{1}{2}

Le quotient de la division est la constante

\frac{1}{2}

: la droite à tester est

y = \frac{1}{2}

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} + 7}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} + 7}

tend vers

\frac{1}{2}

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} + 7}

tend vers

\frac{1}{2}

L'asymptote horizontale est

y = \frac{1}{2}

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

y = \frac{1}{2}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+1%29%2F%282*x%5E2+%2B+7%29&v=x&f2=1%2F2&b=-10.0&e=10.0&min=0.19444444444444442&max=0.5277777777777778&dash=2