asymptotes de f(x)=(x-2)/(x^2+2x-15)

Cherchons les asymptotes de

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 2 x - 15 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 2

c = -15

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-15)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-15)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-15)

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

Δ = 4 + 60

ⓘ On part de

4

et on avance de

60

sur la droite des nombres :

4 + 60

64

Δ = 64

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{64}

8

;

8^{2}

64

x_{1} = \frac{- 2 - 8}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 - 8

-10

x_{1} = - \frac{10}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{10}{2}

-5

x_{1} = -5

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{64}

8

;

8^{2}

64

x_{2} = \frac{- 2 + 8}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 + 8

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Solutions trouvées :

x = {-5; 3}

Quand

x

s'approche de

-5

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -5

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

3

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 3

est donc une asymptote verticale

À l'infini, le degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur : la droite à tester est

y = 0

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}

tend vers

0

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}

tend vers

0

L'asymptote horizontale est

y = 0

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = -5; x = 3; y = 0}

🖼/draw?f1=%28x+-+2%29%2F%28x%5E2+%2B+2*x+-+15%29&v=x&x2=-5&x3=3&f4=0&b=-13.0&e=11.0&min=-0.4207815606644494&max=0.44862619488514105&dash=2,3,4