asymptotes de f(x)=(x+1)/(x-5) — solution étape par étape

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x + 1}{x - 5}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x - 5 = 0

⇥ⓘ On ajoute

5

aux deux membres

⇥Solution trouvée :

x = 5

Quand

x

s'approche de

5

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 5

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(x + 1)

par

(x - 5)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x + 1$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 5 = x - 5$	$(x + 1) - (x - 5) = 6$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

1

Le quotient de la division est la constante

1

: la droite à tester est

y = 1

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{x + 1}{x - 5}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{x + 1}{x - 5}

tend vers

1

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{x + 1}{x - 5}

tend vers

1

L'asymptote horizontale est

y = 1

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = 5; y = 1}

🖼/draw?f1=%28x+%2B+1%29%2F%28x+-+5%29&v=x&x2=5&f3=1&b=-5.0&e=15.0&min=-2.54&max=3.94&dash=2,3