asymptotes de f(x)=(x^2)/(2x^2-2)

⚠Ⓘ 2x est lu comme le produit 2*x : pour une puissance, écrivez 2^x

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} - 2 = 0

⇥On peut factoriser l'expression en :

2 \cdot (x^{2} - 1) = 0

⇥1.2) Résolvons :

x^{2} - 1 = 0

⇥Solutions trouvées :

x = {-1, 1}

Quand

x

s'approche de

-1

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -1

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

1

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 1

est donc une asymptote verticale

⇥1.3) Commençons la division euclidienne de

x^{2}

par

2 x^{2} - 2

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{2}$	$\frac{x^{2}}{2 x^{2}}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} - 2) = x^{2} - 1$	$x^{2} - (x^{2} - 1) = 1$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

\frac{1}{2}

Le quotient de la division est la constante

\frac{1}{2}

: la droite à tester est

y = \frac{1}{2}

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

tend vers

\frac{1}{2}

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

tend vers

\frac{1}{2}

L'asymptote horizontale est

y = \frac{1}{2}

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = -1, x = 1, y = \frac{1}{2}}

🖼/draw?f1=x%5E2%2F%282*x%5E2+-+2%29&v=x&x2=-1&x3=1&f4=1%2F2&b=-10.0&e=10.0&min=0.49047619047619045&max=0.6047619047619047&dash=2,3,4