asymptotes de f(x)=(x^2+9)/(x^2-9)

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 9 = 0

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

9

sont

-3

3

⇥Solutions trouvées :

x = {-3; 3}

Quand

x

s'approche de

-3

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -3

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

3

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 3

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{2} + 9)

(x^{2} - 9)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{2} + 9$	$\frac{x^{2}}{x^{2}}$	$1$	$x^{2} - 9 = x^{2} - 9$	$(x^{2} + 9) - (x^{2} - 9) = 18$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

1

Le quotient de la division est la constante

1

: la droite à tester est

y = 1

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

tend vers

1

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

tend vers

1

L'asymptote horizontale est

y = 1

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = -3; x = 3; y = 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+9%29%2F%28x%5E2+-+9%29&v=x&x2=-3&x3=3&f4=1&b=-10.0&e=10.0&min=-3.12&max=3.12&dash=2,3,4