asymptotes de (3x^2-18x+24)/(x^2-4x)

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 4 x = 0

⇥On peut écrire l'expression :

x^{2} - 4 x

sous la forme factorisée :

x \cdot (x - 4)

⇥Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥⇥1.1.1) Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥Solution obtenue :

x = 0

⇥⇥1.1.2) Résolvons dans

ℝ

x - 4 = 0

⇥⇥Solution trouvée :

x = 4

Quand

x

s'approche de

0

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 0

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

4

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

\frac{3}{2}

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

\frac{3}{2}

Les limites sont finies en

4

: il s'agit d'un trou, pas d'une asymptote verticale

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(3 x^{2} - 18 x + 24)

par

(x^{2} - 4 x)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$3 x^{2} - 18 x + 24$	$\frac{3 x^{2}}{x^{2}}$	$3$	$3 \cdot (x^{2} - 4 x) = 3 x^{2} - 12 x$	$(3 x^{2} - 18 x + 24) - (3 x^{2} - 12 x) = - 6 x + 24$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

3

Le quotient de la division est la constante

3

: la droite à tester est

y = 3

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

tend vers

3

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

tend vers

3

L'asymptote horizontale est

y = 3

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = 0; y = 3}

🖼/draw?f1=%283*x%5E2+-+18*x+%2B+24%29%2F%28x%5E2+-+4*x%29&v=x&x2=0&f3=3&b=-10.0&e=10.0&min=-0.54&max=5.94&dash=2,3