asymptotes de (x-9)/(sqrt(4x^2+3x+2))

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}

, pour

x

réel

Le dénominateur est une racine carrée : le domaine est donné par

4 x^{2} + 3 x + 2 > 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

4 x^{2} + 3 x + 2 > 0

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

⇥

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

⇥ℹ

3^{2}

9

‖

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 9 - 16 \cdot 2

⇥

Δ = 9 - 32

⇥

Δ = -23

⇥Comme a =

4

> 0, la solution est :

ℝ

⇥Solution obtenue :

x \in ℝ

Le radicande est strictement positif sur ℝ : la fonction est définie et continue sur ℝ, sans asymptote verticale

À l'infini, les termes dominants sont

x

au numérateur et

\sqrt{4 x^{2}}

au dénominateur. Attention :

\sqrt{x^{2}}

abs (x)

Quand

x

tend vers

-∞

\frac{x}{abs (x)}

vaut

-1

: la fonction tend vers

- \frac{1}{2}

-∞

, la limite est finie :

y = - \frac{1}{2}

est une asymptote horizontale

Quand

x

tend vers

+∞

\frac{x}{abs (x)}

vaut

1

: la fonction tend vers

\frac{1}{2}

+∞

, la limite est finie :

y = \frac{1}{2}

est une asymptote horizontale

Les limites aux deux infinis sont finies : il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{y = - \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}}

🖼/draw?f1=%28x+-+9%29%2Fsqrt%284*x%5E2+%2B+3*x+%2B+2%29&v=x&f2=-1%2F2&f3=1%2F2&b=-10.0&e=10.0&min=-4.4576322693961465&max=0.950693842672377&dash=2,3