asymptotes de (x+2)/(x^2-2x-3) — solution étape par étape

Cherchons les asymptotes de

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 2 x - 3 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2

c = -3

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 4 + 12

ⓘ On part de

4

et on avance de

12

sur la droite des nombres :

4 + 12

16

Δ = 16

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

x_{1} = \frac{2 - 4}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 - 4

-2

x_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

x_{1} = -1

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

x_{2} = \frac{2 + 4}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 4

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Solutions obtenues :

x = {-1; 3}

Quand

x

s'approche de

-1

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -1

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

3

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 3

est donc une asymptote verticale

À l'infini, le degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur : la droite à tester est

y = 0

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

tend vers

0

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

tend vers

0

L'asymptote horizontale est

y = 0

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = -1; x = 3; y = 0}

🖼/draw?f1=%28x+%2B+2%29%2F%28x%5E2+-+2*x+-+3%29&v=x&x2=-1&x3=3&f4=0&b=-9.0&e=11.0&min=-0.9890109890109889&max=0.5934065934065934&dash=2,3,4