asymptotes de (x^2-2x-35)/(x^2-16)

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} - 16}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 16 = 0

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

16

sont

-4

4

⇥Solutions obtenues :

x = {-4; 4}

Quand

x

s'approche de

-4

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -4

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

4

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 4

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{2} - 2 x - 35)

(x^{2} - 16)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{2} - 2 x - 35$	$\frac{x^{2}}{x^{2}}$	$1$	$x^{2} - 16 = x^{2} - 16$	$(x^{2} - 2 x - 35) - (x^{2} - 16) = - 2 x - 19$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

1

Le quotient de la division est la constante

1

: la droite à tester est

y = 1

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} - 16}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} - 16}

tend vers

1

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} - 16}

tend vers

1

L'asymptote horizontale est

y = 1

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = -4; x = 4; y = 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+-+2*x+-+35%29%2F%28x%5E2+-+16%29&v=x&x2=-4&x3=4&f4=1&b=-12.0&e=12.0&min=-0.8907142857142858&max=3.197857142857143&dash=2,3,4