asymptotes de (x^3)/(x^2-9) — solution étape par étape

Cherchons les asymptotes de

\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 9 = 0

⇥Solutions trouvées:

x = {-3, 3}

Quand

x

s'approche de

-3

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -3

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

3

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 3

est donc une asymptote verticale

⇥Effectuons la division euclidienne :

x^{3}

x^{2} - 9

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$	$\frac{x^{3}}{x^{2}}$	$x$	$x \cdot (x^{2} - 9) = x^{3} - 9 x$	$x^{3} - (x^{3} - 9 x) = 9 x$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x

La division permet d'écrire

\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = x + \frac{9 x}{x^{2} - 9}

: la droite à tester est

y = x

Pour une asymptote oblique, l'écart entre la fonction et la droite doit tendre vers 0 : vérifions la limite de

\frac{9 x}{x^{2} - 9}

aux deux infinis

L'écart tend vers

0

en +∞ et vers

0

en -∞ : la courbe se rapproche donc de la droite aux deux infinis

L'asymptote oblique est

y = x

; il n'y a pas d'asymptote horizontale

▶Asymptotes :

{x = -3, x = 3, y = x}

🖼/draw?f1=x%5E3%2F%28x%5E2+-+9%29&v=x&x2=-3&x3=3&f4=x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.1375&max=12.0125&dash=2,3,4