asymptotes de (x^3-x^2-x+1)/(x^2-4)

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x^{2} - 4}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 4 = 0

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

4

sont

-2

2

⇥Solutions obtenues :

x = {-2; 2}

Quand

x

s'approche de

-2

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -2

est donc une asymptote verticale

Quand

x

s'approche de

2

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 2

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(x^{3}

- x^{2}

- x

+ 1)

par

(x^{2} - 4)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- x^{2}$ $- x$ $+ 1$	$\frac{x^{3}}{x^{2}}$	$x$	$x \cdot (x^{2} - 4) = x^{3} - 4 x$	$(x^{3}$ $- x^{2}$ $- x$ $+ 1) - (x^{3} - 4 x) = - x^{2} + 3 x + 1$
$- x^{2} + 3 x + 1$	$- \frac{x^{2}}{x^{2}}$	$-1$	$-1 \cdot (x^{2} - 4) = - x^{2} + 4$	$(- x^{2} + 3 x + 1) - (- x^{2} + 4) = 3 x - 3$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

(x - 1)

La division permet d'écrire

\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x^{2} - 4} = (x - 1) + \frac{3 x - 3}{x^{2} - 4}

: la droite à tester est

y = x - 1

Pour une asymptote oblique, l'écart entre la fonction et la droite doit tendre vers 0 : vérifions la limite de

\frac{3 x - 3}{x^{2} - 4}

aux deux infinis

L'écart tend vers

0

en +∞ et vers

0

en -∞ : la courbe se rapproche donc de la droite aux deux infinis

L'asymptote oblique est

y = x - 1

; il n'y a pas d'asymptote horizontale

▶Asymptotes :

{x = -2; x = 2; y = x - 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E3+-+x%5E2+-+x+%2B+1%29%2F%28x%5E2+-+4%29&v=x&x2=-2&x3=2&f4=x+-+1&b=-10.0&e=10.0&min=-13.0&max=11.0&dash=2,3,4