asymptotes de (x^4-1)/x^3 — solution étape par étape

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x^{4} - 1}{x^{3}}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x^{3} = 0

⇥

x^{3} = 0

veut dire que :

x = 0

⇥Solution obtenue :

x = 0

Quand

x

s'approche de

0

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 0

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(x^{4} - 1)

par

(x^{3})

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{4} - 1$	$\frac{x^{4}}{x^{3}}$	$x$	$x x^{3} = x^{4}$	$(x^{4} - 1) - x^{4} = -1$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x

La division permet d'écrire

\frac{x^{4} - 1}{x^{3}} = x - \frac{1}{x^{3}}

: la droite à tester est

y = x

Pour une asymptote oblique, l'écart entre la fonction et la droite doit tendre vers 0 : vérifions la limite de

- \frac{1}{x^{3}}

aux deux infinis

L'écart tend vers

0

en +∞ et vers

0

en -∞ : la courbe se rapproche donc de la droite aux deux infinis

L'asymptote oblique est

y = x

; il n'y a pas d'asymptote horizontale

▶Asymptotes :

{x = 0; y = x}

🖼/draw?f1=%28x%5E4+-+1%29%2Fx%5E3&v=x&x2=0&f3=x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.0&max=12.0&dash=2,3