asymptotes de y=(3x^2-3x-2)/(x-1)

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{3 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x - 1 = 0

⇥ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

⇥Solution obtenue :

x = 1

Quand

x

s'approche de

1

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 1

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(3 x^{2} - 3 x - 2)

(x - 1)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$3 x^{2} - 3 x - 2$	$\frac{3 x^{2}}{x}$	$3 x$	$3 x \cdot (x - 1) = 3 x^{2} - 3 x$	$(3 x^{2} - 3 x - 2) - (3 x^{2} - 3 x) = -2$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

3 x

La division permet d'écrire

\frac{3 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1} = 3 x + \frac{2}{- x + 1}

: la droite à tester est

y = 3 x

Pour une asymptote oblique, l'écart entre la fonction et la droite doit tendre vers 0 : vérifions la limite de

\frac{2}{- x + 1}

aux deux infinis

L'écart tend vers

0

en +∞ et vers

0

en -∞ : la courbe se rapproche donc de la droite aux deux infinis

L'asymptote oblique est

y = 3 x

; il n'y a pas d'asymptote horizontale

▶Asymptotes :

{x = 1; y = 3 x}

🖼/draw?f1=%283*x%5E2+-+3*x+-+2%29%2F%28x+-+1%29&v=x&x2=1&f3=3*x&b=-9.0&e=11.0&min=-33.0&max=39.0&dash=2,3