asymptotes de y=((x-9))/((x-2)) — solution étape par étape

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x - 9}{x - 2}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x - 2 = 0

⇥ⓘ On ajoute

2

aux deux membres

⇥Solution obtenue :

x = 2

Quand

x

s'approche de

2

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 2

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(x - 9)

par

(x - 2)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x - 9$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 2 = x - 2$	$(x - 9) - (x - 2) = -7$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

1

Le quotient de la division est la constante

1

: la droite à tester est

y = 1

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{x - 9}{x - 2}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{x - 9}{x - 2}

tend vers

1

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{x - 9}{x - 2}

tend vers

1

L'asymptote horizontale est

y = 1

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = 2; y = 1}

🖼/draw?f1=%28x+-+9%29%2F%28x+-+2%29&v=x&x2=2&f3=1&b=-8.0&e=12.0&min=-3.13&max=4.43&dash=2,3