asymptotes de y=(x+2)/(x+4) — solution étape par étape

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x + 2}{x + 4}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x + 4 = 0

⇥ⓘ On soustrait

4

aux deux membres

⇥Solution trouvée :

x = -4

Quand

x

s'approche de

-4

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

+∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

-∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = -4

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(x + 2)

par

(x + 4)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x + 2$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x + 4 = x + 4$	$(x + 2) - (x + 4) = -2$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

1

Le quotient de la division est la constante

1

: la droite à tester est

y = 1

Pour une asymptote horizontale, la fonction doit tendre vers une valeur finie : vérifions la limite de

\frac{x + 2}{x + 4}

aux deux infinis

Quand

x

tend vers +∞,

\frac{x + 2}{x + 4}

tend vers

1

; quand

x

tend vers -∞,

\frac{x + 2}{x + 4}

tend vers

1

L'asymptote horizontale est

y = 1

; il n'y a pas d'asymptote oblique

▶Asymptotes :

{x = -4; y = 1}

🖼/draw?f1=%28x+%2B+2%29%2F%28x+%2B+4%29&v=x&x2=-4&f3=1&b=-14.0&e=6.0&min=-0.18000000000000002&max=1.98&dash=2,3