|10x-6|<= |2x+2| — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

| 10 x - 6 | \leq | 2 x + 2 |

Les deux membres sont positifs ou nuls. Les comparer revient à comparer leurs carrés, avec le même signe de comparaison

2) Résolvons dans

ℝ

{(10 x - 6)}^{2} \leq {(2 x + 2)}^{2}

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2} \leq 0

Pour

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2}

, on reconnaît une différence de deux carrés :

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = 10 x - 6

b = 2 x + 2

On peut mettre l'expression :

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2}

en facteurs :

((10 x - 6) - (2 x + 2)) \cdot ((10 x - 6) + (2 x + 2))

3) Résolvons dans

ℝ

((10 x - 6) - (2 x + 2)) \cdot ((10 x - 6) + (2 x + 2)) \leq 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 x + 2)

- 2 x - 2

■Les parenthèses se calculent en premier :

- 6 + 2

-4

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

10 x + 2 x

12 x

(10 x

- 6

- 2 x

- 2) \cdot (12 x - 4) \leq 0

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

- 6 - 2

-8

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

10 x - 2 x

8 x

(8 x - 8) \cdot (12 x - 4) \leq 0

On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥L'expression

8 x - 8

s'annule en :

⇥

x = \frac{8}{8}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

8

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{8}

1

⇥

x = 1

⇥Son coefficient en

x

8

, étant positif, elle est négative avant et positive après

1

⇥L'expression

12 x - 4

s'annule en :

⇥

x = \frac{4}{12}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{12}

\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4}

\frac{1}{3}

⇥

x = \frac{1}{3}

⇥Son coefficient en

x

12

, étant positif, elle est négative avant et positive après

\frac{1}{3}

4) Dressons le tableau de signes :

▶Solution trouvée :

x \in [\frac{1}{3}; 1]

5) La valeur numérique de :

x \in [\frac{1}{3}; 1]

est :

▷

x \in [\approx 0,3333; 1]