|2*x-1|+3=|5-x|+4 — solution étape par étape

1) Effectuons la résolution dans

ℝ

| 2 x - 1 | + 3 = | 5 - x | + 4

| 2 x - 1 |

+ 3

- | 5 - x |

- 4 = 0

ⓘ On part de

3

et on recule de

4

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

3 - 4

-1

| 2 x - 1 | - 1 - | 5 - x | = 0

Les arguments des valeurs absolues s'annulent en

{\frac{1}{2}; 5}

. On découpe ℝ à ces points et on résout dans chaque intervalle

Sur

] -∞; \frac{1}{2}]

2 x - 1 \leq 0

, donc

| 2 x - 1 | = - (2 x - 1)

;

5 - x \geq 0

, donc

| 5 - x | = 5 - x

Sur

] -∞; \frac{1}{2}]

, l'équation devient

- (2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

2) Résolvons dans

ℝ

- (2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

- 2 x

+ 1

- 1

- 5

+ x = 0

ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 2 x + x

- x

- x + 0 - 5 = 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 5

-5

- x - 5 = 0

ⓘ Ajoutons

x

aux deux membres

-5 = x

Solution obtenue :

x = -5

Puisque

-5 \leq \frac{1}{2}

, on peut garder la solution

-5

Sur

[\frac{1}{2}; 5]

2 x - 1 \geq 0

, par conséquent

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

5 - x \geq 0

, donc

| 5 - x | = 5 - x

Sur

[\frac{1}{2}; 5]

, l'équation devient

(2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

3) Résolvons dans

ℝ

(2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

ⓘ On part de

-1

et on recule encore de

1

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 1 - 1

-2

■Avec un signe moins devant les parenthèses, on change le signe de chaque terme à l'intérieur :

- (5 - x)

- 5 + x

2 x

- 2

- 5

+ x = 0

ⓘ On part de

-2

et on recule encore de

5

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 2 - 5

-7

■On additionne les coefficients des termes semblables pour les regrouper :

2 x + x

3 x

3 x - 7 = 0

ⓘ Ajoutons

7

aux deux membres

3 x = 7

ⓘ On divise les deux membres par

3

Solution obtenue :

x = \frac{7}{3}

Comme

\frac{7}{3} \in [\frac{1}{2}; 5]

, on peut garder la solution

\frac{7}{3}

Sur

[5; +∞ [

2 x - 1 \geq 0

, donc

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

5 - x \leq 0

, par conséquent

| 5 - x | = - (5 - x)

Sur

[5; +∞ [

, l'équation devient

(2 x - 1) - 1 + (5 - x) = 0

4) Résolvons dans

ℝ

(2 x - 1) - 1 + (5 - x) = 0

ⓘ On part de

-1

et on recule encore de

1

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 1 - 1

-2

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x - x

x

x - 2 + 5 = 0

ⓘ On part de

-2

et on avance de

5

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 2 + 5

3

x + 3 = 0

ⓘ Soustrayons

3

aux deux membres

Solution trouvée :

x = -3

Puisque

-3 \notin [5; +∞ [

, on ne peut pas garder la solution

-3

▶Solutions obtenues :

x = {-5; \frac{7}{3}}

5) La valeur numérique de :

x = {-5; \frac{7}{3}}

vaut :

▷

x = {-5; \approx 2,3333}