|4-x|=|2x+1| — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

| 4 - x | = | 2 x + 1 |

Les deux membres sont positifs ou nuls. Les comparer revient à comparer leurs carrés, avec le même signe de comparaison

2) Résolvons dans

ℝ

{(4 - x)}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}

{(4 - x)}^{2} - {(2 x + 1)}^{2} = 0

Pour

{(4 - x)}^{2} - {(2 x + 1)}^{2}

, on reconnaît une différence de deux carrés :

{(4 - x)}^{2} - {(2 x + 1)}^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = 4 - x

b = 2 x + 1

On peut écrire l'expression :

{(4 - x)}^{2} - {(2 x + 1)}^{2}

sous la forme factorisée :

((4 - x) - (2 x + 1)) \cdot ((4 - x) + (2 x + 1))

3) Résolvons dans

ℝ

((4 - x) - (2 x + 1)) \cdot ((4 - x) + (2 x + 1)) = 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 x + 1)

- 2 x - 1

■Les parenthèses se calculent en premier :

4 + 1

5

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x + 2 x

x

(4

- x

- 2 x

- 1) \cdot (5 + x) = 0

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

4 - 1

3

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x - 2 x

-3 x

(3 - 3 x) \cdot (5 + x) = 0

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥3.1) Résolvons dans

ℝ

3 - 3 x = 0

⇥

3 x = 3

⇥ⓘ On divise les deux membres par

3

⇥

x = \frac{3}{3}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{3}{3}

1

⇥Solution trouvée :

x = 1

⇥3.2) Résolvons dans

ℝ

5 + x = 0

⇥Solution trouvée :

x = -5

▶Solution :

x = {-5; 1}