|-3x+2|=x+6 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

| - 3 x + 2 | = x + 6

Les arguments des valeurs absolues s'annulent en

\frac{2}{3}

. On découpe ℝ à ces points et on résout dans chaque intervalle

Sur

] -∞; \frac{2}{3}]

- 3 x + 2 \geq 0

, donc

| - 3 x + 2 | = - 3 x + 2

Sur

] -∞; \frac{2}{3}]

, l'équation devient

- 3 x + 2 = x + 6

2) Résolvons dans

ℝ

- 3 x + 2 = x + 6

ⓘ On regroupe les termes en

x

à droite et les autres à gauche

2 - 6 = x + 3 x

ⓘ On part de

2

et on recule de

6

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

2 - 6

-4

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x + 3 x

4 x

-4 = 4 x

ⓘ On divise les deux membres par

4

x = - \frac{4}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{4}

-1

Solution trouvée :

x = -1

Comme

-1 \leq \frac{2}{3}

, on peut garder la solution

-1

Sur

[\frac{2}{3}; +∞ [

- 3 x + 2 \leq 0

, donc

| - 3 x + 2 | = - (- 3 x + 2)

Sur

[\frac{2}{3}; +∞ [

, l'équation devient

- (- 3 x + 2) = x + 6

3) Résolvons dans

ℝ

- (- 3 x + 2) = x + 6

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- 3 x + 2)

3 x - 2

3 x - 2 = x + 6

ⓘ On ajoute

2

aux deux membres■On part de

6

et on avance de

2

sur la droite des nombres :

6 + 2

8

3 x = x + 8

ⓘ On soustrait

x

aux deux membres

3 x - x = 8

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

3 x - x

2 x

2 x = 8

ⓘ On divise les deux membres par

2

x = \frac{8}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

Solution obtenue :

x = 4

Comme

4 \geq \frac{2}{3}

, on peut garder la solution

4

▶Solutions obtenues :

x = {-1; 4}