|x-1|+|x+1|=1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

| x - 1 | + | x + 1 | = 1

Les arguments des valeurs absolues s'annulent en

{-1; 1}

. On découpe ℝ à ces points et on résout dans chaque intervalle

Sur

] -∞; -1]

x - 1 \leq 0

, par conséquent

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \leq 0

, par conséquent

| x + 1 | = - (x + 1)

Sur

] -∞; -1]

, l'équation devient

- (x - 1) - (x + 1) = 1

2) Effectuons la résolution dans

ℝ

- (x - 1) - (x + 1) = 1

- x

+ 1

- x

- 1 = 1

ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x - x

-2 x

- 2 x + 0 = 1

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

- 2 x + 0

-2 x

- 2 x = 1

ⓘ Divisons les deux membres par

-2

x = \frac{1}{-2}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{1}{-2}

- \frac{1}{2}

Solution trouvée :

x = - \frac{1}{2}

Puisque

- \frac{1}{2} \notin] -∞; -1]

, on ne peut pas garder la solution

- \frac{1}{2}

Sur

[-1; 1]

x - 1 \leq 0

, donc

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \geq 0

, par conséquent

| x + 1 | = x + 1

Sur

[-1; 1]

, l'équation devient

- (x - 1) + (x + 1) = 1

3) Effectuons la résolution dans

ℝ

- (x - 1) + (x + 1) = 1

ⓘ Avec un signe moins devant les parenthèses, on change le signe de chaque terme à l'intérieur :

- (x - 1)

- x + 1

- x

+ 1

+ x

+ 1 = 1

ⓘ On part de

1

et on avance de

1

sur la droite des nombres :

1 + 1

2

■On additionne les coefficients des termes semblables pour les regrouper :

- x + x

0

0 + 2 = 1

ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

0 + 2

2

2 = 1

L'affirmation

2 = 1

est fausse, quelle que soit la valeur de

x

Solution :

x \in \emptyset

Sur

[1; +∞ [

x - 1 \geq 0

, par conséquent

| x - 1 | = x - 1

;

x + 1 \geq 0

, par conséquent

| x + 1 | = x + 1

Sur

[1; +∞ [

, l'équation devient

(x - 1) + (x + 1) = 1

4) Effectuons la résolution dans

ℝ

(x - 1) + (x + 1) = 1

ⓘ On part de

-1

et on avance de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 1 + 1

0

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x + x

2 x

2 x + 0 = 1

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

2 x + 0

2 x

2 x = 1

ⓘ On divise les deux membres par

2

Solution trouvée :

x = \frac{1}{2}

Comme

\frac{1}{2} \notin [1; +∞ [

, on ne peut pas garder la solution

\frac{1}{2}

▶Solution :

x \in \emptyset