|x-1|+|x+1|=2 — solution étape par étape

1) Effectuons la résolution dans

ℝ

| x - 1 | + | x + 1 | = 2

Les arguments des valeurs absolues s'annulent en

{-1; 1}

. On découpe ℝ à ces points et on résout dans chaque intervalle

Sur

] -∞; -1]

x - 1 \leq 0

, donc

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \leq 0

, par conséquent

| x + 1 | = - (x + 1)

Sur

] -∞; -1]

, l'équation devient

- (x - 1) - (x + 1) = 2

2) Résolvons dans

ℝ

- (x - 1) - (x + 1) = 2

- x

+ 1

- x

- 1 = 2

ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x - x

-2 x

- 2 x + 0 = 2

ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

- 2 x + 0

-2 x

- 2 x = 2

ⓘ On divise les deux membres par

-2

x = \frac{2}{-2}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{2}{-2}

- \frac{2}{2}

x = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

Solution trouvée :

x = -1

Puisque

-1 \leq -1

, on peut garder la solution

-1

Sur

[-1; 1]

x - 1 \leq 0

, par conséquent

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \geq 0

, par conséquent

| x + 1 | = x + 1

Sur

[-1; 1]

, l'équation devient

- (x - 1) + (x + 1) = 2

3) Résolvons dans

ℝ

- (x - 1) + (x + 1) = 2

ⓘ Avec un signe moins devant les parenthèses, on change le signe de chaque terme à l'intérieur :

- (x - 1)

- x + 1

- x

+ 1

+ x

+ 1 = 2

ⓘ On part de

1

et on avance de

1

sur la droite des nombres :

1 + 1

2

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x + x

0

0 + 2 = 2

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 2

2

2 = 2

ⓘ On soustrait

2

aux deux membres■Soustrayons

2

aux deux membres

2 - 2 = 0

ⓘ On part de

2

et on recule de

2

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

2 - 2

0

0 = 0

Solution obtenue :

x \in ℝ

L'équation est vraie pour tout

x

[-1; 1]

: on garde tout l'intervalle

Sur

[1; +∞ [

x - 1 \geq 0

, donc

| x - 1 | = x - 1

;

x + 1 \geq 0

, par conséquent

| x + 1 | = x + 1

Sur

[1; +∞ [

, l'équation devient

(x - 1) + (x + 1) = 2

4) Effectuons la résolution dans

ℝ

(x - 1) + (x + 1) = 2

ⓘ On part de

-1

et on avance de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 1 + 1

0

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x + x

2 x

2 x + 0 = 2

ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

2 x + 0

2 x

2 x = 2

ⓘ Divisons les deux membres par

2

x = \frac{2}{2}

ⓘ Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

Solution trouvée :

x = 1

Comme

1 \geq 1

, on peut garder la solution

1

▶Solution trouvée :

x \in [-1; 1]