|x-3|=|3x+5| — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

| x - 3 | = | 3 x + 5 |

Les deux membres sont positifs ou nuls. Les comparer revient à comparer leurs carrés, avec le même signe de comparaison

2) Résolvons dans

ℝ

{(x - 3)}^{2} = {(3 x + 5)}^{2}

{(x - 3)}^{2} - {(3 x + 5)}^{2} = 0

Pour

{(x - 3)}^{2} - {(3 x + 5)}^{2}

, on reconnaît une différence de deux carrés :

{(x - 3)}^{2} - {(3 x + 5)}^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x - 3

b = 3 x + 5

On peut mettre l'expression :

{(x - 3)}^{2} - {(3 x + 5)}^{2}

en facteurs :

((x - 3) - (3 x + 5)) \cdot ((x - 3) + (3 x + 5))

3) Résolvons dans

ℝ

((x - 3) - (3 x + 5)) \cdot ((x - 3) + (3 x + 5)) = 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 x + 5)

- 3 x - 5

■Les parenthèses se calculent en premier :

- 3 + 5

2

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x + 3 x

4 x

(x

- 3

- 3 x

- 5) \cdot (4 x + 2) = 0

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

- 3 - 5

-8

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x - 3 x

-2 x

(- 2 x - 8) \cdot (4 x + 2) = 0

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥3.1) Résolvons dans

ℝ

- 2 x - 8 = 0

⇥

- 2 x = 8

⇥ⓘ On divise les deux membres par

-2

⇥

x = \frac{8}{-2}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{8}{-2}

- \frac{8}{2}

⇥

x = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{2}

-4

⇥Solution trouvée :

x = -4

⇥3.2) Résolvons dans

ℝ

4 x + 2 = 0

⇥

4 x = -2

⇥ⓘ On divise les deux membres par

4

⇥

x = - \frac{2}{4}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

⇥Solution obtenue :

x = - \frac{1}{2}

▶Solution :

x = {-4; - \frac{1}{2}}

4) La valeur numérique de :

x = {-4; - \frac{1}{2}}

est :

▷

x = {-4; -0,5}