|x+3|<2|x+5| — solution étape par étape

⚠ |x+3| est lu comme la valeur absolue abs(x+3)

⚠ |x+5| est lu comme la valeur absolue abs(x+5)

1) Résolvons dans

ℝ

abs (x + 3) < 2 \cdot abs (x + 5)

Les deux membres sont positifs ou nuls. Les comparer revient à comparer leurs carrés, avec le même signe de comparaison

2) Résolvons dans

ℝ

{(x + 3)}^{2} < {(2 \cdot (x + 5))}^{2}

{(x + 3)}^{2} - {(2 \cdot (x + 5))}^{2} < 0

On peut factoriser l'expression en :

((x + 3) - 2 \cdot (x + 5)) \cdot ((x + 3) + 2 \cdot (x + 5))

3) Résolvons dans

ℝ

((x + 3) - 2 \cdot (x + 5)) \cdot ((x + 3) + 2 \cdot (x + 5)) < 0

(x + 3 - 2 \cdot (x + 5)) \cdot (x + 3 + 2 \cdot (x + 5))

4) Résolvons dans

ℝ

x + 3 - 2 \cdot (x + 5) < 0

x + 3 - (2 x + 10) < 0

x

+ 3

- 2 x

- 10 < 0

ℹ

3 - 10

-7

‖

x - 2 x

- x

- x - 7 < 0

- x < 7

Comme

-1

est négatif, on doit inverser le signe de l'inégalité en divisant / multipliant par ce terme

x > \frac{7}{-1}

Solution trouvée :

x > -7

5) Résolvons dans

ℝ

x + 3 + 2 \cdot (x + 5) < 0

x + 3 + (2 x + 10) < 0

ℹ

3 + 10

13

‖

x + 2 x

3 x

3 x + 13 < 0

3 x < -13

Solution trouvée :

x < - \frac{13}{3}

Construisons le tableau des différents éléments pour déterminer la solution globale :

▶Solution trouvée :

x \in] -∞, -7 [\cup] - \frac{13}{3}, +∞ [

6) La valeur numérique de :

x \in] -∞, -7 [\cup] - \frac{13}{3}, +∞ [

est :

▷

x \in] -∞, -7 [\cup] \approx -4.3333, +∞ [