calcule la derivee seconde de ln(x^5)

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\ln (x^{5}))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

x^{5}

ⓘ En dérivant

\ln (x)

, on obtient

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x^{5}))

\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot \frac{1}{x^{5}}

\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot \frac{1}{x^{5}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot \frac{1}{x^{5}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot 1}{x^{5}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{5})}{x^{5}}

■En dérivant

x^{n}

, on obtient

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{5})

5 x^{4}

\frac{5 x^{4}}{x^{5}}

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

\frac{5 x^{4}}{x^{5}}

\frac{5}{x}

\frac{5}{x}

Pour simplifier la dérivation, on réécrit

\frac{5}{x}

5 x^{-1}

2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (5 x^{-1})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée : celle de

k u

est

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x^{-1})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{-1})

■En dérivant

x^{n}

, on obtient

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{-1})

-1 \cdot x^{-2}

5 \cdot (-1 \cdot x^{-2})

ⓘ Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

5 \cdot (-1)

-5

-5 x^{-2}

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- 5 x^{-2}

- \frac{5}{x^{2}}

▶Dérivée :

- \frac{5}{x^{2}}