⚠ (x-1)(x+2)(x-3) est lu comme (x-1)*(x+2)*(x-3) : utilisez (...)*(...) pour une multiplication, utilisez (...)^(...) pour une puissance

Évaluons : $(x-1)·(x+2)·(x-3)$

ⓘ On multiplie chaque terme de la somme par l’autre facteur : c’est la distributivité : $(x-1)·(x+2)$ = $x·x$$+x·2$$-1·x$$-1·2$

$(x·x$$+x·2$$-1·x$$-1·2)·(x-3)$

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants : $x·x$ = $x^2$■Un produit par 1 conserve la valeur initiale : $1·x$ = $x$■On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions : $1·2$ = $2$

$(x^2$$+x·2$$-x$$-2)·(x-3)$

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : $x·2-x$ = $x$

$(x^2+x-2)·(x-3)$

ⓘ On développe par distributivité en multipliant chaque terme de la somme par l'autre facteur : $(x^2+x-2)·(x-3)$ = $x^{2}x$$+x^2·\left(-3\right)$$+x·x$$+x·\left(-3\right)$$-2x$$-2·\left(-3\right)$

$x^{2}x$$+x^2·\left(-3\right)$$+x·x$$+x·\left(-3\right)$$-2x$$-2·\left(-3\right)$

ⓘ Pour multiplier des puissances de même base, on additionne leurs exposants : $x^{2}x$ = $x^3$■On place le signe moins devant le produit : $x^2·\left(-3\right)$ = $-3x^2$■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants : $x·x$ = $x^2$■On écrit le signe moins devant le produit : $x·\left(-3\right)$ = $-3x$■On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif : $-2·\left(-3\right)$ = $6$

$x^3$$-3x^2$$+x^2$$-3x$$-2x$$+6$

ⓘ On additionne les coefficients des termes semblables pour les regrouper : $-3x^2+x^2$ = $-2x^2$■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : $-3x-2x$ = $-5x$

▶Résultat :   $x^3$$-2x^2$$-5x$$+6$

Dérivons : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^3-2x^2-5x+6)$

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^3-2x^2-5x+6)$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^3\right)$$+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2x^2)$$+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-5x)$$+0$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^3\right)$$+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2x^2)$$+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-5x)$$+0$

ⓘ En dérivant $x^n$, on obtient $n{x}^{n-1}$ : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^3\right)$ = $3x^2$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right)$ = $2x$■La dérivée d'un produit par une constante conserve ce facteur : celle de $ku$ est $k·\mathrm{u\text{'}}$ : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2x^2)$ = $-2·\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right)$■Additionner 0 ne change rien : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-5x)+0$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-5x)$■Un facteur constant se garde devant la dérivée : celle de $ku$ est $k·\mathrm{u\text{'}}$ : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-5x)$ = $-5$

$3x^2-2·2x-5$

ⓘ On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions : $2·2$ = $4$

▶Dérivée :   $3x^2-4x-5$