comment resoudre y=1/sqrt(1-x) — solution étape par étape

L'expression

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

contient plusieurs variables : la variable x est choisie pour la recherche de solutions

1) Résolvons dans

ℝ

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = y

On multiplie les deux membres par

\sqrt{1 - x}

, non nul pour que les fractions soient définies

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \sqrt{1 - x} = y \cdot \sqrt{1 - x}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \sqrt{1 - x}

\frac{1 \cdot \sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}

\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

\sqrt{1 - x}

\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}

1

1 = y \cdot \sqrt{1 - x}

y \cdot \sqrt{1 - x} = 1

On isole la racine :

\sqrt{1 - x} = \frac{1}{y}

. Comme par convention la racine carrée d'un nombre est toujours positive ou nulle, élevons les deux membres au carré, à condition que

\frac{1}{y} \geq 0

1 - x = {(\frac{1}{y})}^{2}

ⓘ On regroupe les termes en

x

à droite et les autres à gauche

1 - {(\frac{1}{y})}^{2} = x

ⓘ La puissance d'un quotient est le quotient des puissances, (a/b)^n = a^n/b^n :

{(\frac{1}{y})}^{2}

\frac{1}{y^{2}}

1 - \frac{1}{y^{2}} = x

Candidats, sous réserve du domaine :

x = 1 - \frac{1}{y^{2}}

2) Résolvons en y :

\frac{1}{y} \geq 0

⇥L'expression

y

s'annule en

y = 0

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

3) Dressons le tableau de signes :

Candidats, sous réserve du domaine :

y > 0

4) Évaluons le domaine de

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

Pour que l'expression

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

existe, on doit vérifier :

1 - x > 0

ⓘ On ajoute

x

aux deux membres

1 > x

Contraintes liées au domaine :

x < 1

▶Solution :

{x = 1 - \frac{1}{y^{2}}; y > 0}