derivee de 1/(1+sin(x)) — solution étape par étape

Pour faciliter la dérivation, l'expression

\frac{1}{1 + \sin (x)}

est transformée en

{(1 + \sin (x))}^{-1}

Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(1 + \sin (x))}^{-1})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

1 + \sin (x)

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(1 + \sin (x))}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

- \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

- \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 + \sin (x))

0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))

- \frac{0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))

\frac{d}{d x} (\sin (x))

■La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (x))

\cos (x)

- \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

▶Dérivée :

- \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}