derivee de 5x^2cos(7x) — solution étape par étape

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (5 x^{2} \cdot \cos (7 x))

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (5 x^{2} \cdot \cos (7 x))

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (7 x))

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (7 x))

Pour

u1

x^{2}

v2

\cos (7 x)

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Dérivons

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Effectuons la dérivation

v2

\frac{d}{d x} (\cos (7 x))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

avec f =

7 x

ⓘ La dérivée de cos(x) est -sin(x) :

\frac{d}{d x} (\cos (7 x))

- \frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)

- \frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (7 x)

7

- 7 \cdot \sin (7 x)

4) On évalue la dérivée résultante (

u1 \cdot v2

)' :

2 x \cdot \cos (7 x) + x^{2} \cdot (- 7 \cdot \sin (7 x))

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

x^{2} \cdot (-7) \cdot \sin (7 x)

- 7 x^{2} \cdot \sin (7 x)

2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x)

5) On poursuit ensuite la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (7 x))

2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x)

5 \cdot (2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x))

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

5 \cdot (2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x))

10 x \cdot \cos (7 x) - 35 x^{2} \cdot \sin (7 x)

10 x \cdot \cos (7 x) - 35 x^{2} \cdot \sin (7 x)

On peut mettre l'expression sous forme factorisée :

x \cdot (10 \cdot \cos (7 x) - 35 x \cdot \sin (7 x))

Factorisons dans

ℝ

(10 \cdot \cos (7 x) - 35 x \cdot \sin (7 x))

On met en facteur

5

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

10 \cdot \cos (7 x) - 35 x \cdot \sin (7 x)

5 \cdot (2 \cdot \cos (7 x) - 7 x \cdot \sin (7 x))

Facteur identifié :

2 \cdot \cos (7 x) - 7 x \cdot \sin (7 x)

▶Dérivée :

5 x \cdot (2 \cdot \cos (7 x) - 7 x \cdot \sin (7 x))