derivee de f(x)=(7x^2+7x+7)/(sqrt(x))

On sauvegarde la définition :

f (x) = \frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{\sqrt{x}}

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{\sqrt{x}})

Pour

p1

7 x^{2} + 7 x + 7

q2

\sqrt{x}

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 7 x + 7)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 7 x + 7)

\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7 x) + 0

\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7 x) + 0

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (7 x^{2})

7 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (7 x)

7

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (7 x) + 0

\frac{d}{d x} (7 x)

7 \cdot 2 x + 7

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

7 \cdot 2

14

14 x + 7

3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

ⓘ La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{(14 x + 7) \cdot \sqrt{x} - (7 x^{2} + 7 x + 7) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{{(\sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

(7 x^{2} + 7 x + 7) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{(7 x^{2} + 7 x + 7) \cdot 1}{2 \sqrt{x}}

\frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{2 \sqrt{x}}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

(14 x + 7) \cdot \sqrt{x} - \frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{2 \sqrt{x}}

\frac{(14 x + 7) \cdot \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (7 x^{2} + 7 x + 7)}{2 \sqrt{x}}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{x})}^{2}

x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{\frac{(14 x + 7) \cdot \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (7 x^{2} + 7 x + 7)}{2 \sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (7 x^{2} + 7 x + 7)

- 7 x^{2} - 7 x - 7

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}

x

■Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

\frac{\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x}}}{x^{1}}

\frac{\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x}}}{x}

ⓘ Diviser une fraction par

x

revient à multiplier son dénominateur par

x

\frac{\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x}}}{x}

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x} \cdot x}

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x} \cdot x}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{x} x

x^{\frac{1}{2} + 1}

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 2

3

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot (14 x + 7)

28 x + 14

\frac{(28 x + 14) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(28 x + 14) \cdot x

28 x^{2} + 14 x

\frac{28 x^{2} + 14 x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

28 x^{2} - 7 x^{2}

21 x^{2}

14 x - 7 x

7 x

\frac{21 x^{2} + 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

5) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{\sqrt{x}})

\frac{21 x^{2} + 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

▶Dérivée :

\frac{21 x^{2} + 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}