derivee de f(x)=((sqrt(x)-2))/((2x^2+3))

On sauvegarde la définition :

f (x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{2 x^{2} + 3}

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{x} - 2}{2 x^{2} + 3})

Pour

p1

\sqrt{x} - 2

q2

2 x^{2} + 3

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (\sqrt{x} - 2)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x} - 2)

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 3)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 3)

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 \cdot 2 x

ⅰ

2 \cdot 2

4

4 x

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 x^{2} + 3) - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 x^{2} + 3)

\frac{1 \cdot (2 x^{2} + 3)}{2 \sqrt{x}}

\frac{2 x^{2} + 3}{2 \sqrt{x}}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2 x^{2} + 3}{2 \sqrt{x}} - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x

\frac{(2 x^{2} + 3) - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x \cdot 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}

\frac{\frac{(2 x^{2} + 3) - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x \cdot 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \sqrt{x}

x^{1 + \frac{1}{2}}

■On place le signe moins devant le produit :

8 \cdot (- (\sqrt{x} - 2))

-8 \cdot (\sqrt{x} - 2)

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

1 + \frac{1}{2}

\frac{2 + 1}{2}

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 1

3

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Diviser une fraction par

{(2 x^{2} + 3)}^{2}

revient à multiplier son dénominateur par

{(2 x^{2} + 3)}^{2}

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

8 \cdot (\sqrt{x} - 2)

8 \sqrt{x} - 16

\frac{2 x^{2} + 3 - (8 \sqrt{x} - 16) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (8 \sqrt{x} - 16) \cdot x^{\frac{3}{2}}

- (8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{3}{2}})

\frac{2 x^{2} + 3 - (8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{3}{2}})}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{3}{2}})

- 8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + \frac{3}{2}

\frac{1 + 3}{2}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 3

4

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{\frac{4}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{2} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x^{2} - 8 x^{2}

-6 x^{2}

\frac{- 6 x^{2} + 3 + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{x} - 2}{2 x^{2} + 3})

\frac{- 6 x^{2} + 3 + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

\frac{- 6 x^{2} + 3 + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{- 6 x^{2} + 16 x^{\frac{3}{2}} + 3}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}