derivee de f(x)=(x^2)/(1+4x) — solution étape par étape

On sauvegarde la définition :

f (x) = \frac{x^{2}}{1 + 4 x}

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 + 4 x})

Pour

p1

x^{2}

q2

1 + 4 x

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (1 + 4 x)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 + 4 x)

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

\frac{d}{d x} (4 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 x)

4

4

4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{2 x \cdot (1 + 4 x) - x^{2} \cdot 4}{{(1 + 4 x)}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{2 x \cdot (1 + 4 x) - x^{2} \cdot 4}{{(1 + 4 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot ((4 x + 1) - 2 x)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot ((4 x + 1) - 2 x)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

4 x - 2 x

2 x

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

5) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 + 4 x})

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2}}