derivee de f(x)=(x^2)/(2+x) — solution étape par étape

On sauvegarde la définition :

f (x) = \frac{x^{2}}{2 + x}

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2 + x})

Pour

p1

x^{2}

q2

2 + x

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (2 + x)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (2 + x)

0 + 1

0 + 1

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 1

1

1

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{2 x \cdot (2 + x) - x^{2} \cdot 1}{{(2 + x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (2 + x) - x^{2}}{{(2 + x)}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{2 x \cdot (2 + x) - x^{2}}{{(2 + x)}^{2}}

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 2) - x)}{{(2 + x)}^{2}}

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 2) - x)}{{(2 + x)}^{2}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot (x + 2)

2 x + 4

\frac{x \cdot (2 x + 4 - x)}{{(2 + x)}^{2}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x - x

x

\frac{x \cdot (x + 4)}{{(2 + x)}^{2}}

5) On poursuit ensuite la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2 + x})

\frac{x \cdot (x + 4)}{{(2 + x)}^{2}}

\frac{x \cdot (x + 4)}{{(2 + x)}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{x \cdot (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}