derivee de f(x)=(x^2+3)^3(x^3+3)^2

On sauvegarde la définition :

f (x) = {(x^{2} + 3)}^{3} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2}

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2})

Pour

u1

{(x^{2} + 3)}^{3}

v2

{(x^{3} + 3)}^{2}

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x^{2} + 3

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 3) \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 3) \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 2

6

6 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

3) Effectuons la dérivation

v2

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3)}^{2})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x^{3} + 3

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3)}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot (x^{3} + 3)

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot (x^{3} + 3)

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot (x^{3} + 3)

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot x^{3} + 6 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3)

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{3} + 3)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

2 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0) \cdot x^{3} + 6 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0)

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{3})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

2 \cdot 3 x^{2} \cdot x^{3} + 6 \cdot 3 x^{2}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 3

6

6 \cdot 3

18

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x^{2} x^{3}

x^{5}

6 x^{5} + 18 x^{2}

4) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2})

6 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + {(x^{2} + 3)}^{3} \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2})

6 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + {(x^{2} + 3)}^{3} \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2})

{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot (6 x \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + (x^{2} + 3) \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2}))

ⓘ Un carré n'étant jamais négatif,

x^{2} + 3

ne s'annule pas et ne se factorise pas dans ℝ

▶Dérivée :

{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot (6 x \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + (x^{2} + 3) \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2}))