derivee de f(x)=x^x(ln(x)+1) — solution étape par étape

On sauvegarde la définition :

f (x) = x^{x} \cdot (\ln (x) + 1)

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{x} \cdot (\ln (x) + 1))

Pour

u1

x^{x}

v2

\ln (x) + 1

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Dérivons

u1

\frac{d}{d x} (x^{x})

Pour dériver sur les intervalles où

x > 0

, on écrit

x^{x}

e^{x \cdot \ln (x)}

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{x})

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (x)) \cdot e^{x \cdot \ln (x)}

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (x)) \cdot e^{x \cdot \ln (x)}

⇥Pour

u3

x

v4

\ln (x)

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u3 \cdot v4) = \frac{d}{d x} (u3) \cdot v4 + u3 \cdot \frac{d}{d x} (v4)

⇥2.1) Effectuons la dérivation

u3

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥2.2) Dérivons

v4

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥2.3) Évaluons la dérivée obtenue (

u3 \cdot v4

)' :

1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

x \cdot \frac{1}{x}

\frac{x \cdot 1}{x}

\frac{x}{x}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x

\frac{x}{x}

1

⇥

\ln (x) + 1

⇥2.4) On poursuit ensuite la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (x))

\ln (x) + 1

(\ln (x) + 1) \cdot x^{x}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(\ln (x) + 1) \cdot x^{x}

\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}

\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}

3) Dérivons

v2

\frac{d}{d x} (\ln (x) + 1)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (\ln (x) + 1)

\frac{d}{d x} (\ln (x)) + 0

\frac{d}{d x} (\ln (x)) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (\ln (x)) + 0

\frac{d}{d x} (\ln (x))

■La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

4) Évaluons la dérivée obtenue (

u1 \cdot v2

)' :

(\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}) \cdot (\ln (x) + 1) + x^{x} \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

x^{x} \cdot \frac{1}{x}

\frac{x^{x} \cdot 1}{x}

\frac{x^{x}}{x}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

\frac{x^{x}}{x}

x^{x - 1}

(\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}) \cdot (\ln (x) + 1) + x^{x - 1}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}) \cdot (\ln (x) + 1)

\ln (x) \cdot x^{x} \cdot \ln (x)

+ \ln (x) \cdot x^{x} \cdot 1

+ x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x} \cdot 1

\ln (x) \cdot x^{x} \cdot \ln (x)

+ \ln (x) \cdot x^{x} \cdot 1

+ x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x} \cdot 1

+ x^{x - 1}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\ln (x) \cdot \ln (x)

{\ln (x)}^{2}

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x} \cdot \ln (x)

2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ 2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

5) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{x} \cdot (\ln (x) + 1))

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ 2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ 2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

▶Dérivée :

x^{x} \cdot {\ln (x)}^{2}

+ 2 x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x}

+ x^{x - 1}