derivee de h(x)=(x^2+4x+1)/(3x+5)

On sauvegarde la définition :

h (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 5}

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 5})

Pour

p1

x^{2} + 4 x + 1

q2

3 x + 5

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 1)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (4 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 x)

4

2 x + 4

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (3 x + 5)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 x + 5)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{(2 x + 4) \cdot (3 x + 5) - (x^{2} + 4 x + 1) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(2 x + 4) \cdot (3 x + 5)

2 \cdot x \cdot 3 \cdot x

+ 2 x \cdot 5

+ 4 \cdot 3 x

+ 4 \cdot 5

- (x^{2} + 4 x + 1) \cdot 3

- (x^{2} \cdot 3 + 12 x + 3)

\frac{2 \cdot x \cdot 3 \cdot x + 2 x \cdot 5 + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot 5 - (x^{2} \cdot 3 + 12 x + 3)}{{(3 x + 5)}^{2}}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 3

6

2 \cdot 5

10

4 \cdot 3

12

4 \cdot 5

20

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (x^{2} \cdot 3 + 12 x + 3)

- x^{2} \cdot 3 - 12 x - 3

\frac{6 x^{2} + 10 x + 12 x + 20 - x^{2} \cdot 3 - 12 x - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

20 - 3

17

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

12 x

+ 17

- x^{2} \cdot 3

- 12 x

17 - x^{2} \cdot 3

6 x^{2} - x^{2} \cdot 3

3 x^{2}

\frac{3 x^{2} + 10 x + 17}{{(3 x + 5)}^{2}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 5})

\frac{3 x^{2} + 10 x + 17}{{(3 x + 5)}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{3 x^{2} + 10 x + 17}{{(3 x + 5)}^{2}}