derivee de ln(1/(1-x)) — solution étape par étape

Pour faciliter la dérivation, l'expression

\frac{1}{1 - x}

est transformée en

{(1 - x)}^{-1}

Dérivons :

\frac{d}{d x} (\ln ({(1 - x)}^{-1}))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

{(1 - x)}^{-1}

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln ({(1 - x)}^{-1}))

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{-1}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot 1}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1})}{{(1 - x)}^{-1}}

■On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

\frac{\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1})}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot {(1 - x)}^{1}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot {(1 - x)}^{1}

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

1 - x

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

- \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

- \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

- \frac{\frac{d}{d x} (1 - x) \cdot (1 - x)}{{(1 - x)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 - x) \cdot (1 - x)}{{(1 - x)}^{2}}

On divise le numérateur et le dénominateur de

\frac{1 - x}{{(1 - x)}^{2}}

par le facteur commun :

1 - x

, ce qui donne la nouvelle fraction :

\frac{1}{1 - x}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 - x)}{1 - x}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

- \frac{0 + \frac{d}{d x} (- x)}{1 - x}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (- x)

-1

- (\frac{-1}{1 - x})

ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-1}{1 - x})

\frac{1}{1 - x}

▶Dérivée :

\frac{1}{1 - x}