derivee de ln(x*sqrt(x^2-1)) — solution étape par étape

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\ln (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}))

\frac{d}{d x} (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}) \cdot \frac{1}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{d}{d x} (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}) \cdot \frac{1}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

Pour

u1

x

v2

\sqrt{x^{2} - 1}

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Dérivons

u1

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

1

3) Effectuons la dérivation

v2

\frac{d}{d x} (\sqrt{x^{2} - 1})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

avec f =

x^{2} - 1

ⓘ La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x^{2} - 1})

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

4) Évaluons la dérivée obtenue (

u1 \cdot v2

)' :

1 \cdot \sqrt{x^{2} - 1} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{x \cdot x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

5) On poursuit ensuite la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1})

\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\sqrt{x^{2} - 1} \cdot \sqrt{x^{2} - 1} + x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\frac{\sqrt{x^{2} - 1} \cdot \sqrt{x^{2} - 1} + x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{x^{2} - 1} \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

x^{2} - 1

\frac{\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x^{2} + x^{2}

2 x^{2}

\frac{\frac{2 x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Diviser une fraction par

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

revient à multiplier son dénominateur par

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

\frac{\frac{2 x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{2 x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1} \cdot x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{2 x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1} \cdot x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{x^{2} - 1} \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

x^{2} - 1

\frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) \cdot x}

▶Dérivée :

\frac{2 x^{2} - 1}{x \cdot (x^{2} - 1)}